ECOLE DOCTORALEECOLE DOCTORALE

ECOLE DOCTORALE

ECOLE DOCTORALE

ECOLE DOCTORALE
MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS

T
1




















2007/2008






OULOUSE III
MASTER 2 RECHERCHE





MATHEMATIQUES

FONDAMENTALES




MATHEMATIQUES

APPLIQUEES


2
















SECRETA
R
IAT

Manuella RODRIGUES
UNIVERSITE PAUL SABATIER - UFR MIG
118, Route de Narbonne
31062 Toulouse cedex
Tél : 05 61 55 67 87 - Fax : 05 61 55 61 83
E-mail : rodrigues@adm.ups-tlse.fr


3

TABLEAU SYNOPTIQUE DES ENSEIGNEMENTS


MATHEMATIQUES FONDAMENTALES


COURS D’HARMONISATION de 30h
Initiation a la Topologie Différentielle et à la cohomologie de De Rham
Ce cours intensif, de 30 H sur deux semaines, s’adresse à tous les étudiants. Il aura lieu avant le début des
autres cours. Il permettra d’acquérir des outils indispensables dans la plupart des branches des Mathématiques.




1
ER
SEMESTRE - SUIVRE 3 MODULES DE 36H
CHAQUE ETUDIANT CHOISIRA 3 COURS PARMI LES MODULES SUIVANTS :


1.1.- Introduction à l’Algèbre Commutative et à la Géométrie Algébrique
(Françoise MICHEL et Mark SPIVAKOVSKY)
1.2.- Géométrie Différentielle et Géométrie sous-Riemannienne (NGUYEN Tien Zung)
1.3.- Dynamique Holomorphe : Itération des Fractions Rationnelles I (Arnaud CHERITAT)
1.4.- Géométrie et Problèmes Algorithmiques dans les Groupes (François DAHMANI)




2
E
SEMESTRE - SUIVRE 2 OPTIONS DE 24H
LES ETUDIANTS CHOISIRONT 2 COURS PARMI LES MODULES DE 24H QUI SUIVENT :


2.1.- Résolutions des Singularités (Françoise MICHEL et Mark SPIVAKOVSKY)
2.2.- L’Intégralité Galoisienne d’un Système Dynamique (Emmanuel Paul)
2.3.- Dynamique Holomorphe : Itération des Fractions Rationnelles II (François BERTELOOT)
2.4.- Groupes Limites, Arbres Réels, et Equations dans le Groupe Libre (Vincent GUIRARDEL)


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TABLEAU SYNOPTIQUE DES ENSEIGNEMENTS


MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Ce MASTER 2 comporte deux filières :
Analyse appliquée, modélisation, Calcul scientifique (FILIERE A)
Probabilités et Statistique – Modélisation Stochastique (FILIERE B)
Chaque filière comporte un cours (ou un module) principal obligatoire (28h) et des cours
ou modules optionnels (28h)
1
, auxquels s’ajoutent les cours d’harmonisation en début d’année.

COURS PRINCIPAUX
Filière A : Analyse Appliquée, Modélisation, Calcul Scientifique
Module A.0 Les Equations aux Dérivés Partielles (J. Vancostenoble - M. Hillairet)

Filière B : Probabilités et Statistique
Module B.0 Processus Gaussiens et de Lévy – Quelques Applications Statistiques (S. Cohen)

Filières A et B : Harmonisation des acquis

MODULES D'OPTION


Filière A : Analyse appliquée, Modélisation, Calcul scientifique

Module A.1 Développement Asymptotiques singuliers et Applications en Electromagnétisme et Mécanique des Fluides
(A. Bendali)
Module A.2 Méthodes de Volumes Finis pour les Systèmes Hyperboliques(S. Clain)
Module A.3 Calcul de Structures non linéaires (P. Laborde)
Module A.4 Modélisation et Simulation Numérique de Systèmes de Particules (M. Lemou - L. Mieussens)
Module A.5 Traitement d’Images et Assimilation de Données pour l’Environnement (D. Auroux - M. Masmoudi)
Module A.6 Optimisation, Théorie et Algorithmes (D. Noll)
Module A.7 Contrôle et Stabilisation de Systèmes non Linéaires (J.-P. Raymond)
Module A.8 Comportement en Grands Temps dans les Systèmes Dynamiques de Dimension Infinie
(J.-M. Roquejoffre – V. Roussier-Michon)



Filière B : Probabilités et Statistique

Module B.1 Calcul Stochastique (F. Baudoin)
Module B.2 Modèles Markoviens pour la Biologie (D.Chafaï)
Module B.3 Statistique Asymptotique
Module B.4 Spécificité des Données Spatiales et Outils Spécifiques (O. Perrin – A. Ruiz-Gazen – C. Thomas-Agnan)
Module B.5 Modélisation Statistique (J.-M. Azaïs)
Module B.6 Apprentissage de Modèles Réduits (J.-C. Fort – M. Samuelides)
Module B.7 Temps long pour certains Processus Stochastiques (P. Cattiaux)
Module B.8 Transport de Mesures et Inégalités Fonctionnelles (J. Bertrand)

1
- L'étudiant doit valider 5 cours de ce Master 2 Recherche. Il choisit une filière et doit suivre le cours principal et au moins
deux cours d’option de cette filière sauf dérogation. L'étudiant peut être autorisé à remplacer un module du Master 2 Recherche
de Mathématiques appliquées par un module d’un autre Master 2 Recherche. Par exemple, ce module peut être pris parmi les
enseignements du Master 2 Recherche de Mathématiques Fondamentales.


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A L'ADRESSE DES ETUDIANTS


VOUS ÊTES EN MASTER 1 OU EN ECOLE D’INGENIEUR
ET VOUS ÊTES INTERRESSE PAR UN MASTER 2 RECHERCHE.
Ce guide vous est d'abord destiné. Il vous offre une présentation commune du MASTER 2 Recherche de
Mathématiques Fondamentales et du MASTER 2 Recherche de Mathématiques appliquées à Toulouse. Vous
y trouverez des renseignements d'ordre pédagogique et d'ordre administratif. Mais toutes les questions que vous
pouvez vous poser sur les études en 3ème cycle ne trouveront pas réponse dans ce fascicule. Aussi, n'hésitez pas à
rencontrer les responsables des MASTERS 2 Recherche ou des enseignants-chercheurs de l'Ecole Doctorale de
Mathématiques ; ceux-ci sont à votre disposition.
Sans être la seule issue possible d'un MASTER 2 Recherche, la préparation d'une thèse en est le
prolongement privilégié. Jetez donc un coup d'œil sur la dernière partie de la plaquette qui vous donnera un aperçu
sur les études en thèse en Mathématiques à Toulouse. Ceci devrait vous fournir une meilleure vision d'ensemble,
avant de vous engager dans la préparation d'un MASTER 2 Recherche.
Si vous souhaitez être candidat à un MASTER 2 Recherche, il est conseillé de déposer votre candidature
sans attendre d'avoir tous les résultats définitifs ; voir rubrique "Modalités d'inscription". La commission
d'admission du MASTER 2 Recherche examinera votre dossier et pourra prononcer l'admission sous réserve de
l'obtention du diplôme requis.


VOUS ÊTES EN MASTER 2 RECHERCHE
ET VOUS ENVISAGEZ DE POURSUIVRE DES ETUDES EN THESE.
Vous n'avez peut-être pas encore le diplôme de MASTER 2 Recherche, mais il est bon de vous préoccuper
déjà de la suite, si vous envisagez de poursuivre des études en thèse. Vous trouverez, dans la 3ème partie de ce
guide, des indications sur les Etudes Doctorales en Mathématiques à Toulouse.

Choisir de faire une thèse est une décision dans laquelle interviennent quatre facteurs :
- votre motivation personnelle et vos compétences validées par le MASTER 2 Recherche,
- un sujet de thèse proposé par un enseignant-chercheur de l'Ecole Doctorale, ou par un laboratoire
universitaire extérieur, ou encore par une entreprise,
- un directeur de thèse qui accepte de prendre la responsabilité de l'encadrement.
- L’obtention d’un financement pour la thèse


Pour éclairer votre réflexion, vous pouvez faire le point avec les responsables des MASTERS et avec votre
responsable de mémoire. Rencontrez aussi des enseignants-chercheurs de l'Ecole Doctorale susceptibles de vous
conseiller. Ils pourront éventuellement avoir une proposition de sujet de thèse, la thèse n'étant pas nécessairement
le prolongement du mémoire de MASTER 2 Recherche. Informez-vous aussi sur des offres de sujets avec
financement diffusées au niveau national ; voir — en particulier — auprès du secrétariat de l'Ecole Doctorale.


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Dans tous les cas, n'attendez pas d'avoir vos résultats définitifs au MASTER 2 Recherche pour déposer, en
temps voulu, une demande de financement de thèse ; voir section "Indications sur le déroulement des études
doctorales".

AVERTISSEMENT
Les indications dans ce fascicule sont données sous réserve de modifications. Contacter
le secrétariat du MASTER 2 Recherche pour toute précision utile (adresse plus haut).
Les informations nouvelles ou réactualisées pourront aussi être trouvées sur Internet à
l’adresse Web de la formation:

http://zung.zetamu.com/master2/dea-mp-prg07.html
http://www.math.ups-tlse.fr



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MASTER 2
RECHERCHE

MATHEMATIQUES
FONDAMENTALES


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1 - FAIRE UN MASTER 2 RECHERCHE

C'est le commencement d'une formation par la recherche.

L'objectif principal de l'année de MASTER 2 Recherche est de mettre les étudiants en
contact avec certains domaines ouverts en mathématiques Fondamentales.

Chaque étudiant devra mener parallèlement un approfondissement de ses connaissances et
avancer très rapidement dans une spécialité pointue.

2 - OBJECTIFS PROFESSIONNELS

Pour les meilleurs étudiants le MASTER 2 Recherche débouche sur la préparation d'une thèse.

Le MASTER 2 Recherche a aussi un rôle de formation continue sur deux ans pour des
personnes déjà entrées dans la vie active, par exemple enseignants du second degré.

Ce complément de formation mené d'un point de vue plus professionnel, très différent des
formations reçues précédemment, est extrêmement valorisant à titre personnel.

3 - ORGANISATION
La scolarité comprend plusieurs volets :
∗ des cours,
∗ la préparation personnelle d'un mémoire,
∗ la participation à des séminaires, conférences.
3.1 MODULES

L’étudiant doit valider 5 modules de 36 heures au 1
er
semestre et 24 heures au 2
ème

semestre :
3 parmi les modules de base du premier semestre
2 parmi les options de spécialités du second semestre
et 1 mémoire
et suivre obligatoirement des compléments de formations
communs (30 h environ)

Cours d’HARMONISATION (30h)
Les Cours d’Harmonisation commenceront le 24 septembre 2007
Les cours du 1
er
semestre débuteront le 8 octobre 2007

Modules en commun avec le MASTER 2 Recherche de Mathématiques Appliquées : Ces modules
peuvent être pris en supplément, ou, avec l’accord du responsable, en remplacement d’un module dans le
programme de base.
Modules supplémentaires : L’étudiant s’il le veut peut suivre des modules supplémentaires pour avoir
plus de 188 h d’enseignement. Ces modules supplémentaires peuvent être pris dans les MASTERS 2
Recherche voisins (Mathématiques Appliquées, Physique, Mécanique). Il est également possible de ne
pas dépasser les 188 h et de mettre l’accent sur le mémoire.


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D'une manière générale, le conseil du MASTER 2 Recherche peut accorder une dérogation
aux règles de choix des modules pour toute demande dûment motivée.


3.2 MEMOIRE

La scolarité du MASTER 2 Recherche comprend aussi la préparation d'un mémoire de
recherche, sous la direction d'un enseignant faisant partie de l'encadrement scientifique de la formation
majoritairement de l’UPS ou d’un établissement partenaire (UT2…).


3.3 SEMINAIRES ET CONFERENCES
Le troisième volet de la scolarité est constitué par la participation obligatoire et régulière tout
au long de l'année de l'étudiant à des séminaires et conférences.
Chaque laboratoire de recherche en Mathématiques de l'UPS anime ses propres séminaires
organisés en séances hebdomadaires. Des groupes de travail, sur des thématiques spécifiques, se
réunissent d'autre part régulièrement. Actuellement il existe une dizaine de séminaires et une douzaine de
groupes de travail en mathématiques à l'UPS.
Le directeur de mémoire conseille l'étudiant pour le suivi d'un séminaire et éventuellement
pour la participation à un groupe de travail.
Le Colloquium de l'Institut de Mathématiques propose, au cours de l'année, une série de
conférences généralistes; l'assistance à ces conférences (en nombre limité) est obligatoire pour les
étudiants du MASTER 2 Recherche. De même, ceux-ci devront-ils participer aux exposés qu'organisera
l'Ecole Doctorale sur le métier de mathématicien à l'université ou dans l'industrie.


4 - RENSEIGNEMENTS PEDAGOGIQUES

4.1 CHOIX DES MODULES

Les 3 modules de base représentent un complément de formation. Les 2 modules d'options
doivent être choisi en cohérence.
4.2 CONTROLE DES CONNAISSANCES

Les cours du premier semestre seront sanctionnés par des examens écrits. Ceux-ci sont
importants car dans la mesure ou ils sont suivis par tous les étudiants ils permettront une comparaison
efficace en particulier pour l'attribution des allocations de Thèses.

Pour les modules spécialisées le contrôle des connaissances consiste en un examen écrit et/ou
oral, ou bien en la lecture d'un article suivi d'un exposé.

La soutenance du mémoire est de 40 minutes devant un Jury composé d'au moins trois
membres de l'équipe enseignante. L'autorisation de soutenance n'est accordée qu'après la réussite à
l'ensemble des modules du premier semestre et des modules spécialisés.

La pondération des notes est la suivante : 6 ECTS pour chaque module et 30 ECTS pour le
mémoire.

Le Jury se compose de l'équipe enseignante de l'année.


10
4.3 - POURSUITE DES ETUDES. INSCRIPTION EN THESE

L'année du MASTER 2 Recherche est l'occasion de compléter des connaissances dans le
domaine choisi et surtout de s'initier à la recherche. Pour l'étudiant qui souhaite poursuivre vers une thèse,
elle est aussi l'occasion de prouver ses goûts et ses aptitudes à la faire. L'inscription en thèse n'est donc
pas automatique à l'issue du MASTER 2 Recherche : le candidat doit avoir obtenu celui-ci dans de
bonnes conditions (mention assez-bien au moins) et trouver un enseignant-chercheur acceptant de prendre
la responsabilité de diriger ses recherches futures, au sein du groupe de formation doctorale.
L’autorisation d’inscription en thèse n’est accordée qu’après le jury de MASTER 2 Recherche. Les
étudiants français, ou originaires de la CEE, ou ayant effectué toutes leurs études supérieures en France,
peuvent bénéficier d'allocations de recherche.


5 - MODALITES D'INSCRIPTION

5.1 - CONDITIONS D'ACCES

Les études de doctorat en Mathématiques Fondamentales font normalement suite à des études
de Mathématiques. Les candidats doivent donc être titulaires d'une maîtrise de Mathématiques ou d'un
diplôme reconnu équivalent.

5.2 - DEMARCHES ADMINISTRATIVES
Dossier d'admission - Le candidat peut se pré-inscrire du 30 mars 2007 au 15 juin 2007 pour
poser sa candidature sur le site de l’ Université Paul Sabatier : http://www.ups-tlse.fr.
Date limite - Une fois pré-inscrit, le candidat expédiera le dossier dûment complété au
secrétariat de la mention au plus tard pour le

29 JUIN 2007

Prière d’inclure dans le dossier un C.V. avec le détail des cours du DEUG, de la Licence et de
la Maîtrise, ainsi que les notes obtenues avec les mentions, les photocopies des attestations de stages, de
séminaire, attestation de soutien financier (documents traduits en français), photo d’identité, une lettre de
motivation manuscrite. Joindre également deux fiches d’appréciations de deux enseignants connaissant
bien l’étudiant.
Ne pas attendre d'avoir les résultats des examens terminaux pour envoyer le dossier.
Les résultats seront diffusés sur le site Web de l’Université Paul Sabatier à partir du :

6 JUILLET 2007

Le site web sera réouvert une semaine en septembre pour les candidats issus d’écoles d’ingénieurs,
de l’agrégation et autres.


La décision d’admission sera notifiée individuellement au candidat dès le 6 juillet 2007.
Elle n’est valable que pour l’année en cours et devra être présentée lors de l’inscription administrative.
Une confirmation de la part de l’étudiant se fera du 06/07/07 au 25/07/06 ou du 24/08/07 au 31/08/07.

A l’issue de cette confirmation, l’étudiant passera au secrétariat récupérer sa lettre d’autorisation
d’inscription en 3
ème
cycle avant de se rendre à la chaîne des inscriptions administratives de l’UPS.


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Tout étudiant inscrit dans le cursus Master 2 Recherche doit impérativement effectuer une
inscription à l’UPS (sans frais supplémentaires pour les étudiants issus d’autres établissements).

Il est vivement conseillé aux candidats ne résidant pas en France, de présenter leur dossier à
la pré-inscription, afin d'être en mesure de préparer leur venue en France.
Constitution du dossier -
Pour les étudiants titulaires de diplômes étrangers ou de diplômes français non visés par le
premier alinéa du § 5.1, le dossier doit contenir les programmes des enseignements supérieurs suivis (en
détaillant au moins le contenu des enseignements des deux dernières années). Le dossier doit aussi faire
ressortir le nombre d'années normalement nécessaires après le bac, ou son équivalent, pour obtenir le(s)
diplôme(s) présenté(s). S'il s'agit d'un diplôme à dominante non mathématique, il est indispensable de
préciser avec soin les enseignements mathématiques suivis. D'une manière générale, éviter sigles ou
abréviations.

5.3 DEBUT DE L'ANNEE UNIVERSITAIRE
Pour les étudiants dont la scolarité antérieure ne s'est pas déroulée à Toulouse, il est recommandé d'arriver
à Toulouse assez tôt, (mi-septembre), entre autre pour des raisons matérielles (logement ...).
Début des cours :
LE 24 SEPTEMBRE 2007

6 - BOURSES ET LOGEMENT

6.1 BOURSES DE MASTER 2 RECHERCHE

Pour les étudiants français, quelques bourses ont été jusqu'ici distribuées chaque année (une
dizaine). Le nombre de bourses est, en général, insuffisant pour couvrir toutes les demandes.
Toute demande de bourse sera examinée selon des critères d'ordre académique et,
éventuellement, social. Elle doit donc être accompagnée d'un curriculum vitae et descriptif détaillé des
études (préciser, en particulier, les mentions obtenues).
Les étudiants salariés à plein temps, les élèves - ingénieurs, les agrégés et les capétiens en
sont exclus.
Pour les étudiants étrangers, des bourses sont attribuées par leur gouvernement, ou par des
organismes français en cas d'accord de coopération: ils doivent s'informer auprès des autorités de leur
pays ou des ambassades (consulats) français.
Les étudiants étrangers peuvent bénéficier d'une bourse de MASTER 2 Recherche sous
certaines conditions assez strictes (voir le service Scolarité 3ème cycle de l'UPS).
6.2 LOGEMENT

Les étudiants qui désirent une chambre en cité universitaire doivent s'adresser le plus
rapidement possible au C.R.O.U.S. (Centre Régional des Œuvres Universitaires):
C.R.O.U.S., 58 RUE DU TAUR, 31000 TOULOUSE / TEL. 05 61 12 54 00.
Les étudiants qui viennent de l’étrangers peuvent également faire leur demande auprès du
Service des Relations Internationales de l’Université Paul Sabatier.


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PROGRAMMES

DES ENSEIGNEMENTS







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COURS D’HARMONISATION (30 HEURES)
Du 24 septembre au 5 octobre 2007
Initiation à la Topologie différentielle et à la cohomologie de De Rham
Florian DELOUP




Il s'agit d'un cours intensif de 30h pour tous les étudiants qui s'engagent en Master 2 Recherche,
quels que soient leurs choix ultérieurs.
Sous réserve de modification, les cours auront lieu à raison de 4 h par jour, au cours de la dernière
semaine de septembre et de la première semaine d'octobre 2007.
Les sujets traités sont: rappels d'algèbre multilinéaire, fibrés vectoriels, formes différentielles,
formule de Stokes, cohomologie de De Rham, théorème de De Rham.


Bibliographie:
"Géométrie différentielle et mécanique analytique", C. Godbillon, Hermann 1969.
"Topological Methods in Algebraic Geometry" F. Hirzebruch, Springer 1995.


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Module 1.1 – Françoise MICHEL et Mark SPIVAKOVSKY

INTRODUCTION A L’ALGEBRE COMMUTATIVE ET A LA GEOMETRIE
ALGEBRIQUE




Résumé :
Théorème des zéros de HILBERT, théorème de normalisation de NOETHER, Polynomes de HILBERT, etc…
On étudiera plus particulièrement les concepts utiles pour la résolution des singularités (théorie des diviseurs et
théorie des intersections).






Références :
• Atiyah, M.F. and MacDonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra (Addison Wesley 1969).
• Eisenbud, D., Commutative Algebra (Springer 1997).
• Harris, J., Algebraic Geometry (Springer 1992).
• Hartshorne, R., Algebraic Geometry (Springer 1997).
• Matsumura, H., Commutative Ring Theory (Cambridge University Press 1986).


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Module 1.2 – NGUYEN Tien Zung

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE ET GEOMETRIE SOUS-RIEMANNIENNE




Le cours consiste en deux parties. Le but de la première partie est de familiariser les étudiants avec des
notions de base de la géométrie différentielle, e.g. groupes de Lie et Algèbres de Lie, distributions,
feuilletages, connexions, courbure, groupoïdes de Lie, etc…

La deuxième partie du cours sera une introduction à la géométrie sous-riemannienne, avec des
applications à la théorie de contrôle géométrique.




Quelques Références :
• B. Dubrovin, A. Fomenko, S. Novikov: Modern geometry.
• J. Duistermaat, J. Kolk : Lie groups.
• R. Montgomery : A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications.
• F. Warner : Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.









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Module 1.3 – Arnaud CHERITAT

DYNAMIQUE HOLOMORPHE : ITERATION DES FRACTIONS
RATIONNELLES I




Programme :
- Familles normales et théorème de Montel
- Définition des ensembles de Julia et Fatou - Premières propriétés
- Classification des composantes périodiques du Fatou

Si le temps le permet :
- introduction aux méthodes quasiconformes, chirurgie holomorphe, théorème de non-errance.




Références :
• Carleson, Gamelin, Complex Dynamics, Springer
• Steinmetz, Rational Iteration: Complex Analytic Dynamical Systems, De Gruyter Studies in
Mathematics, No 16.
• Milnor, Dynamics in One Complex Variable: introductory lectures. http://arxiv.org/abs/math.DS/9201272
(Dynamics in One Complex Variable: third edition. Princeton University Press)



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Module 1.4 – François DAHMANI

GEOMETRIE ET PROBLEMES ALGORITHMIQUES DANS LES GROUPES




Programme :
1. Introduction aux groupes de type fini.
o Présentations, graphes de Cayley, métriques du mot.
o Exemples (groupes abéliens, libres, de surface, hyperboliques, nilpotents, résiduellement finis.)
2. Problèmes algorithmiques en théorie des groupes.
o Problème du mot, de conjugaison, des équations, problème d'isomorphie.
o Un exemple de problème insoluble algorithmiquement : le problème d'arrêt.
o Existence de groupes à problème du mot insoluble.
3. Solutions dans certaines classes de groupes
o Problème du mot dans les groupes résiduelle ment finis,
o Conjugaison dans les groupes libres, hyperboliques
o Equations quadratiques dans des groupes libres, selon Culler, et selon Nielsen.
o Diagramme de Makanin-Razborov d'un groupe de surface.




Bibliographie :

• R. Lyndon et P. Schupp, "Combinatorial group theory" (springer)
• M.Coornaert T.Delzant A.Papadopoulos, "Géométrie et théorie des groupes, les groupes
hyperboliques de Gromov" (springer Lecture notes 1441)
• M. Culler, "Using surfaces to solve equations in free groups". Topology, 20 (1981), no. 2, 133—145
• D. Mumford, C. Series, D. Wright, "Indra's pearls" Cambridge.


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Module 2.1 – Françoise MICHEL et Mark SPIVAKOVSKY

RESOLUTION DES SINGULARITES




Résumé :
Résolution des singularités. Les morphismes d'éclatements seront présentés du point de vue algébrique et
géométrique. On présentera les résolutions des courbes en toutes caractéristiques.
On donnera des descriptions explicites de Résolutions de Surfaces.




Références :
• 1) Cutkovsky,S.D.,Résolution of Singularities(GSM63-2004)
• 2 )Fulton, W.,Algebraic Curves(Benjamin 1969)
• 3) Nagata,M.,Local Rings(Wiley 1962)
• 4) Brieskorn,E.and Knorrer,H.,Planes Algebraic Curves(Birkhauser 1986)


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Module 2.2 – Emmanuel PAUL

L’INTEGRABILITE GALOISIENNE D’UN SYSTEME DYNAMIQUE




Résumé :
Les systèmes considérés seront analytiques complexes (Formes différentielles, champs de vecteurs,
feuilletages holomorphes etc...). Leur dynamique définit un pseudo-groupe dont on définira l'enveloppe
galoisienne, généralisant le groupe de Galois d'une équation différentielle linéaire. L'étude de cette
enveloppe vise à caractériser l'intégrabilité du système. On sera amené à discuter d'outils connexes à cette
étude: singularités de feuilletages, formes normales, groupe de Galois dans le contexte linéaire, théorie
géométrique des e.d.p., ...




Référence principale :
• B. Malgrange, Le groupoïde de Galois d'un feuilletage (L'Enseignement Mathématique, 2001).
Les références préliminaires sur les sujets ci-dessus seront précisées au début du cours.


20

Module 2.3 – François BERTELOOT

DYNAMIQUE HOLOMORPHE : ITERATION DES FRACTIONS RATIONNELLES II




Résumé :
On étudie le lieu de bifurcation d'une famille holomorphe de fractions rationnelles (par exemple
l'ensemble de Mandelbrot pour la famille quadratique z2+c) au moyen de la théorie du potentiel.




Programme :
• Fonctions (pluri)-sousharmoniques, courants positifs.
• Mesure d'entropie maximale d'une fraction rationnelle
• Courants et mesure de bifurcation
• théorie de Mane-Sad-Sullivan


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Module 2.4 – Vincent GUIRARDEL

GROUPES LIMITES, ARBRES REELS, ET EQUATIONS DANS LE GROUPE
LIBRE




L'objectif est d'étudier la structure de l'ensemble des solutions d'un système d'équations dans le groupe
libre, d'après les travaux de Sela.

L'objet essentiel qu'on étudie est la notion de groupe limite (ou pleinement résiduellement libre). Les
groupes limites apparaissent comme des points d'une compactification de l'espace des groupes libres
marqués. Ces groupes ont une caractérisation intéressante en termes de logique du premier ordre: ce sont
ceux qui ont la même théorie universelle que le groupe libre.

Un des outils majeurs pour l'étude de ces groupes consiste à les faire agir sur des arbres appropriés (arbres
réels, R^n-arbres). On utilise ensuite la théorie de Rips pour analyser ces groupes à partir de ces actions.

On présentera ensuite l'algorithme de Makanin qui permet de savoir si un système d'équations et
d'inéquations dans le groupe libre a des solutions ou non.

Ensuite, en introduisant la théorie du scindement JSJ, on décrira le diagramme de Makanin-Razborov qui
paramètre l'ensemble des solutions d'un système d'équations dans le groupe libre.







22





MASTER 2
RECHERCHE

MATHEMATIQUES
APPLIQUEES







23
1 - LE CADRE
1.1 - LE CONTEXTE TOULOUSAIN

Le Master Recherche 2
ème
année, Mention ‘Mathématiques’, Spécialité ‘Mathématiques
Appliquées’ de Toulouse (en abrégé M2R Mathématiques Appliquées) tire parti d'un environnement très
favorable. Des pôles industriels, des centres de recherches finalisées, ainsi qu'un réseau d'entreprises de
tailles diverses, déploient en région toulousaine une activité dans laquelle les mathématiques peuvent
jouer un rôle important, voire essentiel. Citons notamment EADS, le CNES, l’ONERA (Centre de
Toulouse), Météo-France, l'INRA, ELF-SANOFI, MOTOROLA, ASTRIUM, ALCATEL-ESPACE…
Par ailleurs, les Universités et le CNRS disposent à Toulouse de plusieurs laboratoires en
mathématiques appliquées qui offrent, à eux tous, un large éventail de spécialisations. Ces équipes de
recherche reconnues effectuent des travaux mathématiques, soit en lien direct avec les applications, soit
plus théoriques.
Enfin, des écoles d'ingénieurs toulousaines telles que SUPAERO ou l'INSA et les Universités de
Toulouse 1 et 2 possèdent des équipes de recherches et participent elles aussi, avec leur spécificité propre,
au développement des mathématiques.


1.2 - LES ETABLISSEMENTS PARTENAIRES
Une formation multisceau - Cinq établissements d'enseignement supérieur toulousains sont associés dans
la formation :
∗ l'Université Paul Sabatier (UPS),
∗ l'Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace (SUPAERO),
∗ l'Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Toulouse.
∗ l’Université de Toulouse 1 (UT1).
∗ L’Université de Toulouse 2 (Le Mirail)
Ces établissements proposent chacun des enseignements dans le cadre du Master Recherche 2
ème

année, chaque enseignement pouvant être suivi par tout étudiant ou élève - ingénieur inscrit dans la
formation. Les laboratoires de recherches des trois établissements accueillent des étudiants du M2R pour
la préparation de leur mémoire; on trouvera plus loin la liste des laboratoires d'accueil de la formation
doctorale (cf. § 4.3).
L'unité de la formation - L'harmonisation des différents enseignements est assurée par un conseil du
M2R. La quasi-totalité des cours se déroulent sur le site du campus universitaire de Rangueil.
Le cadre d'une Ecole Doctorale - Le M2R s'inscrit dans le cadre de l'Ecole Doctorale de Mathématiques
et Applications de Toulouse conjointement avec le M2R de Mathématiques Fondamentales.


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2 – OBJECTIFS DE LA FORMATION

Spécialités - Les étudiants du M2R sont formés aux spécialités suivantes (par ordre alphabétique) :
Approximation, Calcul scientifique, Equations aux dérivées partielles, Mathématiques de l’Information,
de la Communication et de l’Espace, Modélisation en Mécanique et en Physique, Modélisation des
Systèmes Aérospatiaux , Modélisation Stochastique, Optimisation, Probabilités, Statistique et
Applications (à la Biométrie, au Traitement du Signal, ...).
Une initiation à la recherche - Le M2R correspond tout d'abord à une initiation à la recherche
scientifique. Après avoir obtenu dans de bonnes conditions le diplôme, les étudiants pourront poursuivre
en thèse dans le cadre de l'Ecole Doctorale de Mathématiques de Toulouse. Les débouchés d'un doctorat
en Mathématiques Appliquées sont divers :
∗ le milieu industriel, le monde des entreprises, ainsi que les organismes économiques et
administratifs, en premier lieu dans le domaine du calcul scientifique, des probabilités appliquées et de la
statistique,
∗ les grands centres de recherche (CEA, CNES, CENT, INRA, INSERM, ONERA ...)
∗ La recherche académique (CNRS) et l'enseignement supérieur, dans les disciplines relevant
des mathématiques et applications des mathématiques.
Un diplôme sanctionnant la réussite au Master – Le M2R est un diplôme qui sanctionne la réussite au
deuxième cycle d’études universitaires, le Master. Les élèves-ingénieurs des écoles telles que SUPAERO
ou l’INSA suivront quant à eux avec profit le M2R s’ils sont intéressés par les applications des
mathématiques. Néanmoins, la vocation première du M2R est de préparer les étudiants qui le souhaitent
au troisième cycle d’études universitaires, le doctorat dans la spécialité « Mathématiques Appliquées ».
NB : Ces quelques indications, destinées à illustrer la visée de la formation, sont très partielles. Il peut
être utile de demander conseil auprès de membres de l’encadrement scientifique du M2R avant de poser
sa candidature. Chaque cas particulier sera examiné avec attention.

3 - ORGANISATION GENERALE DES ETUDES
Le M2R de Mathématiques Appliquées comprend 2 filières :
∗ Filière A : Analyse appliquée, Modélisation, Calcul scientifique (Responsable : L. Lombardi)
∗ Filière B : Modélisation Stochastique, Probabilités et Statistique (Responsables : J.-C. Fort)

L’étudiant doit choisir une filière.
La scolarité comprend plusieurs volets :
∗ des cours ou modules
∗ la préparation personnelle d'un mémoire, également appelé ‘stage’
∗ la participation à des séminaires, conférences
De plus, une formation d’harmonisation est dispensée en début d’année. Elle a pour but de fournir des
compléments en Analyse Fonctionnelle, Probabilités et Informatique du Calcul Scientifique et de la
Simulation de l’Aléatoire. Elle est organisée durant deux semaines en début d’année et accessible aux
étudiants des deux filières. Elle ne donne pas lieu à examen mais est fortement conseillée. Un total de 40
heures de cours d’harmonisation est ainsi proposé en début d’année parmi lesquels les étudiants en
choisissent 30.


25
3.1 – DESCRIPTION DES FILIERES

La filière A (Analyse Appliquée, Modélisation, Calcul Scientifique) s’adresse aux étudiants désireux
d’acquérir une formation approfondie dans les domaines de la modélisation et du calcul scientifique, de
l’analyse non linéaire, de l’optimisation. L’offre s’y compose de :
- modules de modélisation dont l’objectif est d’aborder sous plusieurs aspects certains problèmes en
sciences appliquées (problèmes d’imagerie, de transport dans les semi-conducteurs, d’élasticité,…)
- modules transversaux d’analyse non linéaire ou de méthodes numériques dans lesquels sont
introduits et analysés des outils et techniques mathématiques et d’approximation.

Les étudiants réussissant dans cette filière peuvent préparer une thèse en milieu universitaire (bourses
MENSR, BDI,…) ou en milieu industriel ou en relation avec un industriel (EADS, ASTRIUM, Alcatel
espace, …), ou encore dans des organismes publics de recherche (CEA, ONERA, CNES, …). Un
étudiant ayant choisi des modules et effectué un stage de M2R a fort caractère applicatif et à forte
consonance « Calcul Scientifique » peut envisager, à l’issue du M2R, d’intégrer des entreprises
technologiques (Sociétés de Service en Informatique et en Calcul Scientifique, grands groupes comme
EADS, …).

Filière B (Modélisation stochastique, Probabilités et Statistique) : Le but de la filière B est de former des
chercheurs de haut niveau dans tous les domaines relevant de l'aléatoire. Les applications de théories
considérées naguère comme « académiques » comme le calcul stochastique, les grandes déviations ou les
théories de l'apprentissage ont élargi le champ d'action traditionnel de la statistique. La large gamme de
cours proposés permet d'explorer ces directions, tant au plan théorique qu'au niveau des applications. Les
cours combinent souvent les deux aspects (Calcul stochastique, Systèmes de particules en interaction,
Méthodologie Statistique). Les débouchés de cette filière sont nombreux. Les étudiants pourront à l'issue du
M2R s'orienter vers la préparation d'une thèse à l'Université, dans un centre de recherche (INRA, INRIA,
CEA, ONERA, CENA...) ou dans une entreprise (EADS, SANOFI, MOTOROLA) ou commencer une
carrière d'ingénieur mathématicien ou de chercheur en entreprise (Finance, Statistique, Fiabilité et Contrôle
de procédés, ...).

3.2 - MODULES

L’étudiant doit valider 5 modules :
le cours principal de la filière choisie + 4 cours optionnels
et un mémoire.
DEBUT DES COURS
Le 24 Septembre 2007 (Cours d’Harmonisation)
Le 8 Octobre 2007 (Tronc commun et modules optionnels)
Cours principal :
• Filière A : Les Equations aux Dérivées Partielles (J. Vancostenopble – M. Hillairet)
• Filière B : Processus Gaussiens et de Lévy – Quelques Applications Statistiques (S. Cohen)

Enseignements d'options - Pour les filières A ou B, l'étudiant choisit (sauf dérogation cf. 4.1) 4 modules
parmi ceux proposés par les 2 filières. L'étudiant doit choisir 2 modules au moins dans une même filière.
Chaque cours est d'une durée de 28 heures.


26
Modules Extérieurs:
La liste des modules extérieur retenus pour l’année universitaire 2007/2008 ne figure pas ci-après. Elle
sera communiquée lors de la réunion de rentrée.

3.3 - MEMOIRE
La scolarité du M2R comprend aussi la préparation d'un mémoire de recherche, sous la direction
d'un enseignant faisant partie de l'encadrement scientifique de la formation. Le travail est réalisé dans le
cadre d'une équipe d'accueil dont on trouvera la liste ci-après (cf. § 4.3). La préparation du mémoire peut
aussi prendre la forme d'un stage en entreprise, ou bien dans un laboratoire de recherche extérieur au
groupe de formation doctorale.

Le mémoire se prépare durant toute l'année, les sujets étant proposés aux étudiants au premier
trimestre, (par les enseignants et chercheurs des laboratoires et équipes d’accueil associées au M2R). Les
cours théoriques du M2R doivent être normalement achevés fin février, pour permettre un travail à temps
plein sur le mémoire en fin d'année. Toutefois, certains cours pourront être proposés au deuxième
semestre.

3.4 - SEMINAIRES ET CONFERENCES
Le troisième volet de la scolarité est constitué par la participation obligatoire et régulière tout au
long de l'année de l'étudiant à des séminaires et conférences.
Chaque laboratoire de recherche en Mathématiques associé au M2R anime son propre séminaire
organisé en séances hebdomadaires. Des groupes de travail, sur des thématiques spécifiques, se réunissent
d'autre part régulièrement. On dénombre actuellement une dizaine de séminaires et groupes de travail en
mathématiques sur l’ensemble des établissements associés au M2R.
Le directeur de mémoire conseille l'étudiant pour le suivi d'un séminaire et pour la participation
éventuelle à un groupe de travail.
En outre, les étudiants du M2R assistent aux formations qu'organise l'Ecole Doctorale sur le métier
de mathématicien à l'université ou dans l'industrie.

4 - RENSEIGNEMENTS D'ORDRE PEDAGOGIQUE
4.1 - PRECISIONS SUR LE CHOIX DES MODULES
L'étudiant peut remplacer un module optionnel par un module du M2R de Mathématiques
Fondamentales de l'UPS.
Il peut aussi être autorisé à choisir un module extérieur (exceptionnellement deux) à la place d'un
(respectivement deux) modules optionnels. Un module extérieur correspond à un enseignement relevant
d'un autre M2R, ou bien à un module de la scolarité de dernière année de SUPAERO ou de l'INSA.
Le conseil du M2R peut accorder une dérogation aux règles de choix des modules pour toute
demande dûment motivée. En règle générale, des "menus conseillés" sont proposés aux étudiants, en
début d'année, pour les aider à choisir une formation cohérente, adaptée à leur cas. Les étudiants sont
vivement encouragés à demander conseil auprès des membres de l’équipe pédagogique du M2R.


27
Dans tous les cas, avant de choisir de remplacer un ou plusieurs modules optionnels du M2R par
des modules extérieurs, l’étudiant devra en discuter au préalable avec un membre de l’équipe
pédagogique et son choix sera soumis à l’approbation du conseil du M2R.

4.2 - CONTROLE DES CONNAISSANCES
Un examen écrit sanctionne chacun des 5 modules choisis par l'étudiant; tout module est affecté
d'un coefficient 1. Les modalités de l'examen sont déterminées par l'enseignant responsable du module. Si
l'étudiant a validé plus de 5 modules, seules les 5 meilleures notes seront prises en compte.
Le mémoire donne lieu à une soutenance publique devant un jury composé d’au moins 3 membres
désignés par le conseil de l’Ecole Doctorale. Le mémoire est affecté d'un coefficient 5.
La délibération finale du Jury du M2R a lieu fin juin. Pour être admissible, l'étudiant doit avoir la
moyenne sur l'ensemble des épreuves théoriques, et pour être déclaré reçu il devra avoir la moyenne sur
l'ensemble des épreuves. Pour les élèves en dernière année d’Ecole d’Ingénieur (INSA, SUPAERO),
l’admission est prononcée le cas échéant sous réserve de l’obtention par l’étudiant de son diplôme
d’ingénieur.
Une seconde session est organisée en septembre. Elle est réservée aux étudiants qui en font la
demande et qui se sont présentés, sauf raison majeure, à la première session.
Le système européen de points de crédits ECTS est un système d’équivalences qui permet à un
étudiant de valider un module ou une année universitaire dans une autre université d’un autre pays
européen. Pour le M2R, la ventilation des points de crédits ECTS est la suivante : Tronc commun et
modules optionnels = 6 points chacun, Mémoire = 30 points, soit un total de 60 points pour l'année.

4.3 - EQUIPES D'ACCUEIL
Le mémoire de M2R peut être préparé au sein d'une équipe d'accueil de doctorants. Pour la plupart,
ces EAD sont en relation avec les laboratoires de Mathématiques Appliquées de l'UPS, mais aussi de
SUPAERO, de l'INSA ou d'autres établissements toulousains.
- Laboratoire de Statistiques et Probabilité (LSP) : (Unité mixte de recherches CNRS, UPS, INSA)
- Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP) : (Unité mixte de recherches CNRS, UPS, INSA, UT1)
- Mathématiques Appliquées à l'Aéronautique et l'Espace de SUPAERO-ONERA (Centre de Toulouse)
- Equipe GRIMM de Toulouse Mirail
- Groupe de Recherche en Economie Mathématique et Quantitative de Toulouse 1
- Unité de Biométrie et Intelligence Artificielle de l'INRA
- Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique (CERFACS)
- Laboratoire LAAS

Le choix du mémoire se fait en concertation avec les responsables de filière et doit être approuvé par la
Direction du M2R. En cas de mémoire effectué dans une équipe extérieure à l’Ecole Doctorale de
Mathématiques, un codirecteur membre de cette Ecole est nécessaire. Une convention de stage doit être
signée entre l’institution d’accueil et l’établissement d’inscription de l’étudiant.


28
4.4 - POURSUITE DES ETUDES. INSCRIPTION EN THESE

L'année du M2R est l'occasion de compléter des connaissances dans le domaine choisi et surtout de
s'initier à la recherche. Pour l'étudiant qui souhaite poursuivre vers une thèse, elle est aussi l'occasion de
prouver ses goûts et ses aptitudes.
L'inscription en thèse n'est pas automatique à l'issue du M2R. L’inscription en thèse fait l’objet d’un
avis du conseil de l’Ecole Doctorale. Elle est prononcée par le Président de l’Université ou Directeur
d’Ecole. Etre titulaire d’un M2R est une condition nécessaire pour l’inscription en thèse. De plus, le
candidat doit trouver un enseignant-chercheur ou un chercheur acceptant de prendre la responsabilité de
diriger ses recherches. Enfin, il doit faire état de l’accord du Directeur du Laboratoire l’accueillant
pendant la durée de ses travaux. En cas de thèse à l’extérieur (en milieu industriel par exemple), une lettre
de l’institution d’accueil est nécessaire, précisant les conditions de rémunération et de couverture en cas
d’accident. Tout doctorant inscrit dans l’Ecole Doctorale de Mathématiques doit avoir un Directeur ou un
co-Directeur de thèse membre de cette Ecole Doctorale. Il est conseillé de rencontrer les membre de
l’équipe enseignante des M2R, le Directeur de l’Ecole Doctorale et les Directeurs des Laboratoires
d’accueil afin d’établir un projet de thèse dans les meilleures conditions. Les conditions d’accueil des
doctorants au sein des laboratoires de l’Ecole Doctorale sont régies par la charte des thèses de
l’établissement universitaire d’inscription du candidat.


5 - MODALITES D'INSCRIPTION ET DATES
5.1 - CONDITIONS D'ADMISSION
♦ Les candidats doivent être issus soit d’une première année de Master de spécialité
‘Mathématiques’ ou ‘Mathématiques appliquées’, soit d'un niveau d’études reconnu équivalent (entre
autres certains diplômes d'ingénieurs), ou bien encore être en dernière année de SUPAERO ou de l'INSA.
Il est, de plus, souhaitable d'avoir suivi une initiation à l'une au moins des spécialités du M2R.
♦ Pour les étudiants titulaires de diplômes étrangers ou de diplômes français non visés ci-dessus, le
Président de l'Université décide sur avis du conseil du M2R, puis de la commission de scolarité de l'UPS
ou de la commission inter-établissements.
♦ L'étudiant salarié, mère de famille ou bien au service national, peut demander la préparation en
deux ans. Dans ce cas, il lui est conseillé de consacrer la première année aux épreuves théoriques et la
seconde année au mémoire. Les modalités de contrôle des connaissances sont les mêmes que pour les
autres étudiants : à l’issue des deux années, pour être admissible, l'étudiant devra avoir eu la moyenne sur
l'ensemble des épreuves théoriques, et pour être déclaré reçu, il devra avoir la moyenne sur l'ensemble des
épreuves.
♦ Aux candidats justifiant d'un cursus à dominante non mathématique et dont les bases en
mathématiques paraîtraient insuffisantes, il pourra être proposé un an d'études complémentaires en Master
Première Année avant l'inscription au M2R.


Une commission de sélection se réunit à plusieurs reprises afin d’examiner les dossiers des candidats.

L'admission est prononcée sur dossier, après avis de la commission d'admission du M2R.


29
5.2 - DEMARCHES ADMINISTRATIVES
Dossier d'admission - Le candidat peut se pré-inscrire du 30 mars 2007 au 15 juin 2007 pour poser sa
candidature sur le site de l’ Université Paul Sabatier : http://www.ups-tlse.fr.
Date limite - Une fois pré-inscrit, le candidat expédiera le dossier dûment complété au secrétariat de la
mention M2R Mathématiques Appliquées au plus tard pour le

29 JUIN 2007

Prière d’inclure dans le dossier un C.V. avec le détail des cours du DEUG, de la Licence et de
la Maîtrise, ainsi que les notes obtenues avec les mentions, les photocopies des attestations de stages, de
séminaire, attestation de soutien financier (documents traduits en français), photo d’identité, une lettre de
motivation manuscrite. Joindre également deux fiches d’appréciations de deux enseignants connaissant
bien l’étudiant.
Ne pas attendre d'avoir les résultats des examens terminaux pour envoyer le dossier.
Le site web sera réouvert une semaine en septembre pour les candidats issus d’écoles d’ingénieurs, de
l’agrégation et autres.

Les résultats seront diffusés sur le site Web de l’Université Paul Sabatier à partir du :

6 JUILLET 2007.

La décision d’admission sera notifiée individuellement au candidat dès le 6 juillet 2007. Elle n’est valable
que pour l’année en cours et devra être présentée lors de l’inscription administrative.
Une confirmation de la part de l’étudiant se fera mi-juillet du 06/07/07 au 24/07/07 ou du 24/08/07 au
31/08/07.

A l’issue de cette confirmation, l’étudiant passera au secrétariat récupérer sa lettre d’autorisation
d’inscription en 3
ème
cycle avant de se rendre à la chaîne des inscriptions administratives de l’UPS.

Tout étudiant inscrit dans le cursus Master 2 Recherche doit impérativement effectuer une
inscription à l’UPS (sans frais supplémentaires pour les étudiants issus d’autres établissements).

L’étudiant pourra alors s’inscrire ou à l’Université Paul Sabatier ou dans un des autres établissements
(UT1, SUPAERO, INSA,…).
Il est vivement conseillé aux candidats ne résidant pas en France, de présenter leur dossier à
la pré-inscription, afin d'être en mesure de préparer leur venue en France.
Constitution du dossier -
Pour les étudiants titulaires de diplômes étrangers ou de diplômes français non visés par le
premier alinéa du § 5.1, le dossier doit contenir les programmes des enseignements supérieurs suivis (en
détaillant au moins le contenu des enseignements des deux dernières années). Le dossier doit aussi faire
ressortir le nombre d'années normalement nécessaires après le bac, ou son équivalent, pour obtenir le(s)
diplôme(s) présenté(s). S'il s'agit d'un diplôme à dominante non mathématique, il est indispensable de
préciser avec soin les enseignements mathématiques suivis. D'une manière générale, éviter les sigles ou
abréviations.


30

5.3 - DEBUT DE L'ANNEE UNIVERSITAIRE
Pour les étudiants dont la scolarité antérieure ne s'est pas déroulée à Toulouse, il est recommandé
d'arriver à Toulouse assez tôt, (mi-septembre), entre autre pour des raisons matérielles (logement ...).
DEBUT DES COURS

Le 24 Septembre 2007 (Cours d’Harmonisation)
Le 8 Octobre 2007 (Tronc commun et modules optionnels)



6 - BOURSES ET LOGEMENT

6.1 - BOURSES DE M2R
Pour les étudiants français, quelques bourses ont été jusqu'ici distribuées chaque année (une
dizaine). Le nombre de bourses est, en général, insuffisant pour couvrir toutes les demandes.
Toute demande de bourse sera examinée selon des critères d'ordre académique et, éventuellement,
social. Elle doit donc être accompagnée d'un curriculum vitae et studiorum détaillé (préciser, en
particulier, les mentions obtenues).
Les étudiants salariés à plein temps ou les élèves-ingénieurs en sont exclus.
Pour les étudiants étrangers, des bourses sont attribuées par leur gouvernement, ou par des
organismes français en cas d'accord de coopération: ils doivent s'informer auprès des autorités de leur
pays ou des ambassades (consulats) français.
Les étudiants étrangers peuvent bénéficier d'une bourse de M2R sous certaines conditions assez
strictes (voir le service Scolarité 3ème cycle de l'UPS).


6.2 - LOGEMENT
Les étudiants qui désirent une chambre en cité universitaire doivent s'adresser le plus rapidement
possible au C.R.O.U.S. (Centre Régional des Œuvres Universitaires):
C.R.O.U.S., 58 RUE DU TAUR, 31000 TOULOUSE / TEL. 05 61 12 54 00.

Les étudiants qui viennent de l’étrangers peuvent également faire leur demande auprès du
Service des Relations Internationales de l’Université Paul Sabatier.


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COURS D’HARMONISATION DES ACQUIS


FILIERE A ET B
I - Rappels d’analyse fonctionnelle (10 heures)
- Théorèmes de Banach, de l’application ouverte
- Supplémentaire topologique, orthogonalité
- Opérateur adjoint d’un opérateur borné, non borné
- Convergence faible, faible -*, espaces uniformément convexes, Espaces Lp.
- Théorème de la projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert

II - Rappels d’intégration et de calcul différentiel (10 heures)
- Rappels sur l’intégrale de Lebesgue
- Théorèmes principaux d’intégration et exemples d’utilisation : convergence dominée, lemme de
Fatou, convergence monotone, etc…
- Dérivée directionnelle et dérivée de Fréchet
- Formule de Taylor, théorème des fonctions implicites
- Calcul différentiel sur et au voisinage d’une surface
- Formules de Green et de Stokes

III - Introduction a l’utilisation de l’outil informatique (10 heures)
- Initiation Unix, Latex
- Initiation Matlab, Inversion Matricielle, Visualisation
- Algorithmes Stochastiques sous Matlab


FILIERE A
IV - Introduction aux EDPs elliptiques et hyperboliques (10 heures)
- Rappels sur la théorie des distributions
- Formulation variationnelle de problèmes elliptiques pour différentes conditions aux limites
(Dirichlet, Neumann ou Fourier), Théorème de Lax-Milgram.
- Equations hyperboliques non linéaires, existence et unicité de solutions (solutions faibles,
solutions entropiques, relations de Rankine Hugoniot, ondes de choc et détente).


FILIERE B
V – Rappels de Probabilités (10 heures)
-Théorèmes limites de probabilités : loi des grands nombres, théorème limite centrale
- Application
- Classes monotones
- Espérance et loi conditionnelles

VI – Statistique Asymptotique (10 heures)
- Méthode du maximum de vraisemblance
- Efficacité et efficacité asymptotique
- Introduction aux tests d’hypothèses


32





PROGRAMMES

DES ENSEIGNEMENTS


Filière A
Analyse Numérique









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MODULE A0
Equations aux dérivée partielles

J.Vancostenoble et M.Hillairet




L'objectif de ce cours de tronc commun est de fournir quelques outils de base pour l’étude des
équations aux dérivées partielles intervenant dans la modélisation mathématique en physique, chimie,
ingénierie et dans certaines disciplines des sciences humaines. L'accent sera mis sur les propriétés
qualitatives des équations et leurs solutions.




Les points abordés seront choisis dans la liste suivante :

• Les grandes classes d'Equations aux Dérivées Partielles : exemples et propriétés qualitatives simples

• Problèmes d'évolutions linéaires : opérateurs non bornés et théorie des semi-groupes.

• Problèmes hyperboliques linéaires et non-linéaires. Exemples d'applications.

• Phénomènes de dissipation et équations paraboliques : Equation de la chaleur. Estimations a priori.
Résolution par méthode de Fourier, de Galerkin. Principe du maximum, régularisation et irréversibilité.

• Ondes et dispersion : Systèmes hyperboliques symétriques, système de Maxwell, équation des ondes.
Equations dispersives, méthode de la phase stationnaire, vitesse de groupe.

• Problèmes elliptiques. Exemples d’applications.


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MODULE A1
Développements asymptotiques singuliers
et applications en électromagnétisme et mécanique des fluides

A. Bendali




Beaucoup de problèmes physiques font intervenir de façon naturelle des modèles en dimensions
différentes suivant les zones où se produisent les phénomènes. Des exemples classiques sont fournis par
le son s'échappant d'une tuyère à faible section ou le rayonnement d'une antenne micro-ruban. Le raccord
des différents modèles se fait généralement de façon complexe en passant par une zone intermédiaire de
type couche-limite. Le but du cours est une introduction aux techniques d'analyse asymptotique qui
permettent une résolution fine de ces problèmes tant du point de vue de la description de la structure des
solutions que des mises en œuvre numériques.




Le cours comportera une introduction générale qui traitera des techniques de développements
asymptotiques singuliers : développements asymptotiques raccordés, développements multi-échelle et
liens avec la technique des correcteurs. On utilisera en particulier pour illustrer ces méthodes les procédés
de régularisation, permettant d'obtenir la solution d'un problème elliptique avec des données de Dirichlet
discontinues.





Le cours s'orientera ensuite vers des applications spécifiques en électromagnétisme (pénétration
du champ électromagnétique dans une fente, modèle simplifié d'antenne micro-ruban, diffraction par une
surface rugueuse, etc.) et en mécanique des fluides (couche-limite, lubrification, etc.).


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MODULE A2
Méthodes de Volumes Finis pour les Systèmes Hyperboliques

S. Clain




Ce cours est une introduction aux méthodes numériques, de type volumes finis, employées pour la
résolution des systèmes linéaires hyperboliques (dynamique des gaz compressibles, électromagnétisme).
Leurs applications couvrent un large domaine de la simulation numérique et du calcul scientifique
(aéronautique, énergie, environnement).




Le cours s'organise de la manière suivante :

Un premier chapitre est dédié à la notion de système conservatif. On introduira la notion de
solution faible et d'hyperbolicité. On construira, ensuite, la méthode des volumes finis reposant sur les
équations de conservation.

Nous traiterons le cas des systèmes hyperboliques linéaires dans un deuxième chapitre. Cette
situation particulièrement simple permet de mettre en oeuvre la méthode de volumes finis, et de mettre en
évidence, les phénomènes caractéristiques d'un problème hyperbolique (propagation à vitesse finie,
décentrement, formulation des flux).

Le troisième chapitre est dédié au problème de Riemann. L'objectif est de comprendre la
construction des ondes élémentaires (choc, discontinuité de contact, raréfaction), d'introduire les outils les
caractérisant (Rankine-Hugoniot, invariants de Riemann) et d'utiliser la solution pour le calcul des flux.

Dans un quatrième chapitre, nous présentons différentes méthodes de calcul de flux pour une
dimension d'espace. D'un coté, nous présentons les méthodes de type Godunov fondées sur le problème
de Riemann exacte, ou bien, sa version linéarisée (Roe, VFRoe, HLL, HLLE). D'autre part, nous
présenterons les méthodes issues des techniques des différences finies (Lax-Friedrichs, splitting de flux,
Rusanov).

Le Cinquième chapitre est consacré aux systèmes en plusieurs dimensions d'espace. On donnera
une formulation volumes finis générale mais on traitera le cas particulier du système d'Euler en gaz
parfait. On montrera en particulier, comment reformuler le problème en une dimension d'espace dans la
direction normale de chaque facette.

Le sixième, et dernier chapitre, est une introduction aux méthodes de type MUSCL en plusieurs
dimensions d'espace afin d'améliorer la qualité de la solution approchée. On présentera le principe de
monotonie et la notion de stabilité qui lui est attaché. Les différentes méthodes classiques seront
présentées (méthode du gradient), et j'aborderai, ensuite, la version multi-pentes.


36
MODULE A3
Calcul de Structures non linéaires

Patrick Laborde




Le calcul de structures (Computational Structural Mechanics) est consacré à l’étude du
comportement de structures déformables (aéronautique, automobile, génie civil, espace, médical, etc…)
au moyen de modèles mathématiques et numériques.
A partir de problèmes ayant donné lieu a des collaborations recherche/industrie récentes, on
s’attachera à dégager quelques méthodes de modélisation mathématique et de résolution numérique, dont
le domaine d’application, dépasse les exemples traités.


Les chapitres prévus sont les suivants (en fonction du déroulement du cours, tous les thèmes ne
seront pas nécessairement abordés) :

1 – Elasticité linéaire (rappels et compléments).

2 – Méthode des éléments finis (rappels et compléments).

3 - Problèmes de contact unilatéral.
- Inéquation variationnelle pour le problème statique.
- Formulation point-selle et approximation par éléments finis.
- Estimations d’erreur.
- Schémas en temps et conservation de l’énergie pour le problème dynamique.

4 – Mécanique de la rupture
- Modélisation mathématique d’une fissure.
- Méthode des éléments finis généralisés (XFEM) et estimations d’erreur.
- Méthode de la base réduite.

5 – Plasticité et endommagement.
- Plasticité des métaux et endommagement des matériaux composites.
- Equations différentielles multivoques et monotonie.
- Schéma d’approximation incrémental et codes industriels.

6 – Interaction fluide/structure
Applications médicales, modélisation et méthodes numériques.


37
MODULE A4
Modélisation et simulation numérique de systèmes de particules

M.Lemou et L. Mieussens




Ce module s'inscrit dans le contexte général des équations cinétiques pour les gaz et les plasmas.
Ces modèles décrivent à une échelle microscopique l'évolution d'un système de particules à travers une
fonction de distribution f(t,x,v) dépendant du temps t>0, de la position des particules x∈ R
3
et de leur
vitesse v∈ R
3
. L'équation d'évolution de f est une équation intégro-différentielle assez complexe dont la
forme générale est la suivante:

∂
t
f + ∇
x
f = ε
−1
Q(f). (1)

L'opérateur Q modélise les collisions entre particules et agit uniquement sur la dépendance en
vitesse de f. Le paramètre ε mesure la déviation du système par rapport à un état (dit d'équilibre
thermodynamique local) qui peut être décrit par des grandeurs macroscopiques, telles que la densité,
l'impulsion, ou la température. Il est connu que quand ε tend vers 0, ces modèles dégénèrent en des
modèles macroscopiques, comme par exemple, les équations d'Euler ou de Navier-Stokes pour la
dynamique des gaz. La mise au point de méthodes de résolution numérique de ce type d'équation, est
actuellement en plein essor, du fait de la complexité de l'équation, et du grand nombre de variables qu'elle
contient. Une des grandes difficultés est d'obtenir des méthodes d'approximations suffisamment rapides.



L'objectif de ce cours est d'abord de présenter une introduction aux méthodes numériques utilisées
actuellement pour ces problèmes. Deux types d'approches seront développées : les méthodes
déterministes (de type différences finies) et les méthodes stochastiques (de type Monte-Carlo). Par
ailleurs, comme les versions classiques de ces méthodes s'avèrent trop coûteuses quand ε devient petit
(forte densité du gaz par exemple), nous présenterons également des méthodes numériques récentes qui
restent performantes pour toutes les valeurs de ε. En d'autres termes, à l'instar du modèle continu (1) qui
dégénère en un modèle macroscopique quand ε tend vers 0, nous construirons des méthodes numériques
qui dégénèrent en des algorithmes consistants avec le modèle macroscopique limite.



Le plan général du cours est le suivant :

- Présentation générale des modèles cinétiques et de leurs limites macroscopiques (équations de
Boltzmann-BGK, transport des neutrons, transfert radiatif; et les limites Euler, Navier-Stokes, ou de
diffusion).

- Méthodes numériques déterministes (différences finies, vitesses discrètes).

- Méthodes stochastiques (échantillonnage, tirage au sort de collisions).

- Méthodes uniformément stables par rapport à ε (splitting d'opérateurs, méthodes de relaxation,
méthodes implicites en temps).

- Lien avec l'approximation des lois de conservation de la mécanique des fluides (schémas cinétiques
pour les équations d'Euler).


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MODULE A5
Traitement d’images et assimilation de données pour l’environnement

Didier Auroux, Mohamed Masmoudi



Ce cours s’articule autour de deux parties, la première se compose d’une courte introduction du
concept du gradient topologique et de son application au traitement d’images. La deuxième partie du
cours s’intéresse aux techniques d’assimilation de données. On utilisera les résultats de la première partie
dans le cas particulier où les données comprennent des images.

Traitement d’images
Trouver une partition d’une image est à la base des problèmes majeurs de traitement d’images tels
que la segmentation, la classification, la détection de contours ou, d’une manière moins évidente, la
restauration et la reconstruction de parties cachées (inpainting).
A première vue, trouver la fonction caractéristique d’une partie est un problème non différentiable qui ne
se prête pas facilement à un traitement par des méthodes variationnelles. De nombreuses solutions ont été
imaginées :
- la technique de relaxation qui consiste à laisser la fonction caractéristique prendre toutes les
valeurs entre 0 et 1,
- la technique de courbes de niveaux (level set),
- le gradient topologique qui donne la variation d’une fonction coût lorsque la fonction
caractéristique passe de 0 à 1 ou de 1 à 0, dans une région de petite taille.
Nous montrerons que cette dernière méthode est particulièrement efficace et qu’elle permet de
résoudre ces problèmes en O(n log(n)) opérations, où n est la taille de l’image. Ceci ouvre des possibilités
de traitement en temps réel pour les problèmes de robotique, d’imagerie médicale et d’assimilation de
données.

Assimilation de données
Dans de nombreuses études environnementales (par exemple en météorologie, océanographie,
hydrologie, …), le but est de prédire l’évolution du système étudié : prévisions météorologiques, risques
de crues fluviales, évolution d’un polluant à la surface de l’eau ou dans le sous-sol. Un pré-requis
nécessaire à toute prévision est l’identification la plus précise possible de l’état actuel de l’environnement
considéré. Par exemple, avant de chercher à estimer le temps qu’il fera demain, il faut connaître avec
précision celui d’aujourd’hui. Comme toute situation est unique, l’information mathématique contenue
dans les équations modélisant les écoulements physiques (océan, atmosphère, fleuve, écoulements dans le
sous-sol) n’est pas suffisante, il faut apporter une source d’information supplémentaire : les observations
(capteurs de température/pression, hauteur d’eau d’une rivière, …). Ces deux sources sont
malheureusement entachées d’erreurs (mauvaise modélisation du phénomène, et erreurs de mesure pour
les données). L’assimilation de données regroupe l’ensemble des techniques permettant de combiner de
façon optimale les modèles et les données afin d’estimer au mieux l’état d’un système.
Différentes méthodes existent, et nous en présenterons quelques-unes parmi :
- les méthodes séquentielles, reposant sur la théorie du filtrage et les covariances d’erreurs sur les
données et modèles ;
- les méthodes variationnelles, essentiellement basées sur le contrôle optimal.

Avec l’augmentation du nombre d’observations disponibles (plusieurs dizaines de millions) et la taille
croissante du système physique (plusieurs milliards d’inconnues), nous montrerons qu’il est important de
développer des méthodes extrêmement efficaces et peu coûteuses.
Certaines zones de la Terre étant relativement mal couvertes par les sources d’informations classiques
(données satellitaires, ballons sondes, …), une idée récente consiste à extraire de l’information utile
(champs de vitesse, fronts d’ondes) pour l’assimilation à partir des images satellitaires et photos
aériennes.


39
MODULE A6
Optimisation, théorie et algorithmes

Dominikus Noll




Résumé :
Quoi de plus naturel lorsqu’un système peut être décrit formellement, que de tenter de l’améliorer ? Le
but de ce cours est de conduire l’auditeur à la découverte des méthodes et algorithmes de l’optimisation
moderne, qui permettent d’aborder cette question.
Dans un premier chapitre nous étudierons les différents types de programmes d’optimisation, l’existence
de solutions ainsi que les conditions d’optimalité du premier et second ordre permettant de les
caractériser.
La dominante de ce cours est consacrée à l’étude d’algorithmes de l’optimisation. Si une méthode
est convergente, est-ce que cela assure déjà qu’elle sera performante en pratique ? Quels sont les critères
mathématiques permettant de dire qu’une méthode «marche» ?
Dans cette optique une deuxième partie du cours étudiera tout d’abord les méthodes numériques
de résolution de problèmes sans contraintes, comme la méthode de Newton et ses variantes, ou celle du
gradient conjugué. Nous nous intéresserons ensuite aux problèmes de moindres carrés, puis aux méthodes
d’optimisation sous contraintes.
La dernière partie du cours sera consacrée aux problèmes d’optimisation sous contraintes dites semi-
définies, une classe d’actualité dans plusieurs domaines applicatifs, notamment en théorie des systèmes
et en finance.



Prérequis :
Pour les élèves ayant effectué leurs études en France : aucun autre prérequis que le niveau de
connaissances acquis en classes préparatoires ou en premier cycle universitaire. Pour les autres élèves :
algèbre linéaire, calcul différentiel.




Références
[1] F. Bonnans, J.C. Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizábal. Optimisation numérique : aspects théoriques
et pratiques. Springer Verlag, Berlin, 1997.

[2] F. Bonnans. Optimisation continue. Cours et problèmes corrigés. Dunod 2006.

[3] J.E. Dennis jr., R.B. Schnabel. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear
equations. Prentice Hall, 1983.

[4] B. Larrouturou, P.L. Lions. Méthodes mathématiques pour les sciences de l’ingénieur : optimisation et
commande optimale. Cours de l’Ecole Polytechnique, 1996.


40
MODULE A7
Contrôle et stabilisation de systèmes non linéaires

Jean-Pierre Raymond




Calculer la trajectoire de rentrée dans l'atmosphère d'une navette spatiale, contrôler les vibrations
d'un pont ou d'une plate-forme pétrolière, prévoir la mission d'un satellite, optimiser un placement
financier, réduire la traînée d'un écoulement d'air autour d'un profil d'aile d'avion, maintenir un satellite
sur son orbite, sont des problèmes faisant appel à la théorie du contrôle optimal. Dans ce cours nous nous
intéresserons à des systèmes instables (écoulements instables, systèmes mécaniques au voisinage d’un
équilibre instable…) que l’on souhaite stabiliser au moyen d’un contrôle (une force, une condition
limite…). Les méthodes étudiées seront illustrées sur différents modèles issus de la mécanique (dans le
cas d’un nombre fini de degré de liberté), et de la mécanique des fluides.




Le contenu du cours est le suivant :

Stabilisation de systèmes non linéaires de dimension finie
• Contrôlabilité des systèmes linéaires
• Stabilisation en boucle fermée de systèmes non linéaires

Stabilisation de systèmes de dimension infinie (i.e. de modèles décrits par des équations aux dérivées
partielles)
• Equations paraboliques semi-linéaires avec conditions limites non homogènes
• Contrôle optimal frontière d’équations de type Burgers avec viscosité en dimension 2 (extension
aux équations de Navier-Stokes)
• Stabilisation interne et frontière d’équations paraboliques linéaires
• Stabilisation locale en boucle fermée d’équations paraboliques semi-linéaires (extension aux
équations de Navier-Stokes).




Eléments bibliographiques

J.-M. Coron, Control and Nonlinearity, American Math. Soc., 2007.
H. Sohr, The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach, Birkhäuser Verlag,
Basel, 2001.
J.-P. Raymond, Control and stabilization of the Navier-Stokes equations, 2007 (livre en préparation).


41
MODULE A8
Comportement en grands temps dans les systèmes dynamiques de dimension infinie

J.-M. Roquejoffre, V. Roussier-Michon




Prévoir le comportement en grand temps d’un système physique, mécanique, biologique…
modélisé par un système d’équation aux dérivées partielles est un problème crucial tant au plan
mathématique qu’à celui des applications. L’étude des équations différentielles, qui sont des systèmes
dynamiques de dimension finie, fournit des idées (principe d’invariance, études locales autour d’un point
d’équilibre) qui peuvent être mises en œuvre avec profit dans le cas de la dimension infinie, i.e. des
équations aux dérivées partielles.



On présentera dans la première partie de ce cours quelques-unes de ces idées générales. Dans la
deuxième partie, on analysera en détail deux problèmes intervenant dans de nombreux modèles de la
mécanique des fluides, de la combustion, de l’optique, les équations de Navier-Stokes et les équations de
Hamilton-Jacobi. Ceci nous donnera l’occasion de traiter au passage quelques méthodes de résolution des
équations aux dérivées partielles non linéaires: semi-groupes d’évolution, solutions de viscosité.



Le plan du cours est le suivant :

1. Concepts généraux : semi-groupes, ensembles omega-limites, principe d’invariance de LaSalle.
2. Eléments de théorie des semi-groupes analytiques. Etude locale au voisinage d’un point d’équilibre :
théorème de la variété centrale.
3. Premier exemple : comportement en grand temps des équations de Navier-Stokes en dimension 2
d’espace. Existence globale pour le problème d’évolution ; invariances d’échelle. Solutions auto-
similaires : calcul explicite (tourbillons d’Oseen) et stabilité globale.
4. Deuxième exemple : équations de Hamilton-Jacobi. Solutions de viscosité, principe du maximum.
Semi-groupe de Lax-Oleinik : existence et propriétés qualitatives.
Convergence vers des solutions stationnaires.



Voici une bibliographie succinte :
• Barles, G. Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi. Mathématiques & Applications
(Berlin), 17. Springer-Verlag, Paris, 1994.
• Brezis, H. Analyse fonctionnelle: théorie et applications. Masson, Paris, 1987.
• Gallay, Th. Wayne, CE. Invariant manifolds and the long-time asymptotics of the Navier-Stokes and
vorticity equations on R^2. Arch. Ration. Mech. Anal. 163 (2002), no. 3, 209--258.
• Henry, D. Geometric theory of semilinear parabolic equations, Lecture Notes in Mathematics,
840. Springer-Verlag, Berlin, 1981.
• Palis, J. de Melo, W. Geometric theory of dynamical systems. An introduction. Translated from the
Portuguese by A. K. Manning. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.




42





PROGRAMMES

DES ENSEIGNEMENTS


Filière B
Probabilités et Statistique










43
Module B0
Processus Gaussiens et de Lévy – Quelques Applications Statistiques

Serge COHEN




1 - Construction du mouvement brownien, premier exemple de processus à temps continu et à
valeurs réelles. On obtiendra le mouvement brownien comme limite de divers autres processus.
On étudiera quelques propriétés élémentaires du mouvement brownien.



2 - Espaces et processus gaussiens. Mesures aléatoires gaussiennes, espace auto-reproduisant et développement
de Karhunen-Loeve. Brownien fractionnaire. Estimation de l’exposant de Hurst du mouvement brownien
fractionnaire.



3 - Introduction aux processus discontinus. Processus de Poisson. Lois infiniment divisibles. Lois
stables. Formule de Lévy Khintchine.

La dernière partie ne sera faite que si le temps le permet.



Références

1. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Karatzas and Shreve.
2. Processus Aléatoires Gaussiens Neveu, Presse universitaire de Montréal.
3. Stochastic integration and differential equations (chapitre 1) Protter, Springer Verlag.


44
Module B1
Calcul Stochastique

F.BAUDOIN




Le mouvement brownien est un processus stochastique omniprésent en théorie des probabilités.
lI fut étudié au début du siècle par Bachelier, Einstein et Wiener. Dans les années 1940, Itô s’en sert pour
développer un calcul stochastique permettant de résoudre des équations différentielles perturbées aléatoirement.

Le calcul stochastique est un mariage de la théorie des probabilités et du calcul différentiel et
intégral, qui a trouvé depuis beaucoup d’applications (équations aux dérivées partielles, géométrie
différentielle, mathématiques financières, etc...). Dans ce cours, nous présenterons la théorie de
l’intégration stochastique et quelques applications en mathématiques financières.



Un poly du cours est disponible:

Chapitre 0: Quelques Rappels de Théorie des Probabilités
Chapitre 1: Processus Stochastiques
Chapitre 2: Martingales
Chapitre 3: Mouvement Brownien
Chapitre 4: Calcul d’Itô
Chapitre 5: Equations Différentielles Stochastiques
Chapitre 6: Applications à la Finance






45
Module B2
Modèles Markoviens pour la Biologie

D. CHAFAÏ




Ce cours présente une sélection de modèles et de techniques stochastiques utilisés en biologie.
Il entre à plusieurs reprises en résonance avec d'autres cours du M2R.

Le plan utilisé en 2007-2008 est le suivant :
1 - Modèles de transmission de gènes
2 - Processus de diffusion
3 - Applications à l'étude des chaînes de Markov
4 - Généalogie
5 - Processus ponctuels
6 - Modèles à compartiments
7 - Modèles de maturation survie


Ce cours est dispensé parallèlement à l'Université de Rennes I par Florent Malrieu. Des notes de cours
électroniques sont disponibles à l'URL http://www.lsp.ups-tlse.fr/Chafai/m2r-markbio.html.
Voici enfin quelques références bibliographiques citées dans les notes de cours pour des points précis.
Seules des connaissances de base de niveau M1 en théorie des probabilités et en statistique sont requises pour
suivre le cours. Un effort d'adaptation sera fait en fonction des connaissances du public.



Références
[Bas98] R. F. Bass _ Di_usions and elliptic operators, Probability and its Applications (New York),
Springer-Verlag, New York, 1998.
[Dur02] R. Durrett _ Probability models for DNA sequence evolution, Probability and its Applications
(New York), Springer-Verlag, New York, 2002.
[EK86] S. N. Ethier et T. G. Kurtz _ Markov processes, Wiley Series in Probability and Mathematical
Statistics: Probability and Mathematical Statistics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1986,
Characterization and convergence.
[Ewe04] W. J. Ewens _ Mathematical population genetics. I, second éd., Interdisciplinary Applied Mathematics,
vol. 27, Springer-Verlag, New York, 2004, Theoretical introduction.
[Kin93] J. F. C. Kingman _ Poisson processes, Oxford Studies in Probability, vol. 3, The Clarendon Press
Oxford University Press, New York, 1993, , Oxford Science Publications.
[KS91] I. Karatzas et S. E. Shreve _ Brownian motion and stochastic calculus, second éd., Graduate Texts
in Mathematics, vol. 113, Springer-Verlag, New York, 1991.
[Kut98] Y. A. Kutoyants _ Statistical inference for spatial Poisson processes, Lecture Notes in Statistics,
vol. 134, Springer-Verlag, New York, 1998.
[MK00] J. H. Matis et T. R. Kiffe _ Stochastic population models, Lecture Notes in Statistics, vol. 145,
Springer-Verlag, New York, 2000, A compartmental perspective.
[MW04] J. Møller et R. P. Waagepetersen _ Statistical inference and simulation for spatial point processes,
Monographs on Statistics and Applied Probability, vol. 100, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.
[Nor98] J. R. Norris _ Markov chains, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, vol. 2,
Cambridge University Press, Cambridge, 1998, Reprint of 1997 original.
[Rob03] P. Robert _ Stochastic networks and queues, french éd., Applications of Mathematics (New York),
vol. 52, Springer-Verlag, Berlin, 2003, Stochastic Modelling and Applied Probability.1


46
Module B3
STATISTIQUE ASYMPTOTIQUE






1. Introduction (rappel sur les convergences stochastiques, différentes caractérisations de la
convergence en loi, notation de Landau).

2. Méthode delta et applications.

3. Estimateurs de type moment.

4. M et Z estimateurs. Propriétés asymptotiques.

5. Contiguïté des suites de mesures de probabilité. Lemmes de Le Cam. Modèles localement
asymptotiquement normaux.

6. Efficacité asymptotique des tests.

7. Introduction au processus empirique réel. Théorèmes de Glivenko-Cantelli et de Donsker.



Bibliographie

Van Der Vaart, Asymptotic Statistics. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics.

Lehmann, E. L. Elements of Large-Sample Theory. Springer Texts in Statistics.


47

Module B4
Spécificité des Données Spatiales et Outils Spécifiques

O. PERRIN, A. RUIZ-GAZEN, C. THOMAS-AGNAN




1) Géostatistique, assuré par Olivier Perrin

1.1. Spécificité des données de type géostatistique. Champs stationnaires, à accroissements stationnaires,
isotropes. Quelques modèles
de champs non-stationnaires. Définition du variogramme
1.2. Modélisation de la tendance et du variogramme
1.3 Estimation du modèle de variogramme (minimum de contraste)
1.4. Prévition par krigeage


2) Econométrie spatiale, assuré par Anne Ruiz-Gazen

2.1. Analyse exploratoire
2.2 Matrices de voisinage et outils pour analyser l’ autocorrélation spatiale
2.3 Modèles de régression spatiaux : simultanés autoregressifs, conditionnels autoregressifs, bayésiens.
2.4. Tests de spécification, choix de modèles.



3) Processus ponctuels, assuré par Christine Thomas-Agnan.

3.1. Notions de base : définition, caractérisations, stationnarité, isotropie, processus de Poisson
homogène, tests d’homogénéité spatiale (CSR).
3.2. Caractéristiques du premier et second ordre : intensité, fonctions K de Ripley, fonctions F,G, J.
Processus de Poisson inhomogènes. Estimation de ces caractéristiques et propriétés asymptotiques.
3.3. Modèles et leur ajustement : modèles de Cox, de Markov.
3.4. Inférence basée sur des simulations.




Bibliographie :

Cressie N., 1991, Statistics for spatial data, New-York, Wiley.

Moller, J. Waagepetersen, R.P. 2004, Statistical inference and simulation for spatial point processes,
Chapman & Hall.

Aragon Y., Perrin O., Ruiz-Gazen A. & Thomas-Agnan C., Statistique et Econométrie des données
géoréférencées, à paraître chez Cépaduès.


48

Module B5
Modélisation Statistique

J.-M. AZAIS





L’ objectif de ce cours est d’étudier quelques stratégies de modélisation statistique, depuis le cadre
pratique d’un problème réel dans lequel des questions se posent, jusqu’au cadre théorique mathématique
dans lequel des résultats existent.
On s’efforcera, à partir d’études de cas, de :

1) Poser le problème,
2) Examiner les différentes méthodes possibles,
3) Etudier les propriétés mathématiques de ces méthodes,
4) Mettre en œuvre – via SAS ou Splus – les méthodes envisagées, en vue d’une réponse
au problème concret posé.


Parmi les notions abordées pourront figurer :

1) Modèle linéaire et extension (régression logistique, modèle linéaire généralisé),
2) Sélection de modèles (critère AIC, CP de Mallows, BIC),
3) Techniques de validation de modèles (validation croisée, bootstrap),
4) Arbres de régression, bagging, boosting.



Bibliogaphie :

Efron, B, How biased is the apparent error rate of a prediction rule, J. Amer. Statist. Assoc. 81, 461-470 (1986).

Hastie, T., Tibshirani, R. et Friedman, J.,The Elements of Statistical Learning : Data Mining, Inference
and Prediction, Springer Verlag, New York (2001).

Mc Cullagh, P. et Neldre, J.-A., Generalized Linear Models, 2
nd
edition. Chapman et Hall, New York (1989).


49
Module B6
Apprentissage de Modèles Réduits

J.-C. FORT – S. SAMUELIDES




Dans de nombreux domaines ont utilise la modélisation et la simulation pour explorer le
fonctionnement de systèmes complexes. Cela conduit souvent à des systèmes physique ou des codes de
calcul très lourds, où chaque expérimentation demande beaucoup de temps et coûte cher.
On cherche donc à construire des modèles réduits qui contiennent les informations pertinentes pour une
question donnée, généralement un problème d'optimisation.

Dans ce cours ont propose un programme d'étude et de mise en oeuvre de ces modèles.



Le plan du cours est le suivant :

1. Rappel et présentation des algorithmes d'optimisation utilisés dans la suite.

2. Introduction des modèles les plus fréquents, régression non linéaire, réseaux de neurones, SVM,
mélanges d'experts et les algorithmes d'apprentissage associés.

3. Le problème du choix des points d'apprentissage : les plans d'expérience et leur version séquentielle.

4. Application à des problèmes d'optimisation.


50
Module B7
Temps long pour certains Processus Stochastiques

P. CATTIAUX





Objectif:

L'objectif de ce cours est de présenter les outils les plus classiques pour étudier le comportement en
temps long (stabilisation vers l'équilibre) des lois de certains processus stochastiques (chaînes de Markov,
diffusions), à travers des exemples concrets.



Les outils recouvrent fonctions de Lyapunov et théorie de Doeblin locale, méthodes spectrales
dans le cas symétrique inégalités fonctionnelles.



Les exemples abordés :
- processus de naissance et mort,
- diffusions uni-dimensionnelles et branchement continu,
- particules en interaction,
ont tous un lien avec des problèmes issus de la Physique ou de la Biologie.


51
Module B8
Transport de Mesures et Inégalités Fonctionnelles

J. BERTRAND




L’objectif de ce cours est d’aborder la théorie du transport de mesures et d’en donner quelques
applications en analyse. Etant données deux mesures de probabilités sur un espace métrique, il s’agit
d’étudier les applications envoyant une mesure sur l’autre et qui minimisent un certain coût dépendant de
la distance.
L’existence de telles applications et leur régularité dépend beaucoup de la « régularité » de
l’espace considéré. En conséquence, l’étude se fera sur des espaces métriques généraux (espaces de
longueurs) ou sur l’espace euclidien, suivant les parties du cours.




Programme prévisionnel :

– Introduction (rapide) aux espaces de longueurs.
– Dualité de Kantorovich, existence d’applications de transport optimal dans le cas quadratique et
pour le problème original de Monge, unicité, régularité.
– Obtention d’inégalités de Sobolev optimales dans l’espace euclidien par des méthodes de transport.
– Propriétés de l’espace de Wassertein, fonctionnelles sur cet espace.
– Equation d’Hamilton-Jacobi.
– Inégalités fonctionnelles (par exemple : log Sobolev) et liens avec le transport de mesures.




Pré-requis :
Notions de Topologie Métrique.




Bibliographie :
C. Villani Topics in optimal mass transportation (AMS 2003).
L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare Gradient flows (Birkhauser 2005).
C. Villani Optimal mass transport, old and new (à paraître).


52














DOCTORAT


53
Pour vous aider à faire un choix, voici quelques indications sur l'environnement scientifique
toulousain et sur le déroulement des Etudes Doctorales dans le cadre de l'Ecole Doctorale de Toulouse.

1 - UNE FORMATION PAR LA RECHERCHE DIVERSIFIEE
La région toulousaine est considérée par les instances scientifiques nationales comme l'un des tous
premiers pôles de province en Mathématiques. L’Ecole Doctorale Mathématiques et Applications de
Toulouse anime et encadre la préparation des thèses dans le domaine des Mathématiques et de leurs
interactions avec les autres disciplines. Les laboratoires de Recherche de l'Ecole offrent une formation par
la Recherche de haut niveau en Mathématiques Fondamentales ou Mathématiques Appliquées. D’une
part, cette formation peut conduire à un recrutement dans l'enseignement supérieur ou dans un centre de
recherche. D'autre part, une proportion importante de thèses, plus orientées vers les applications,
débouchent sur des embauches en milieu industriel ou dans le secteur des entreprises.

L’Institut de Mathématiques de Toulouse (UMR 5219) assure principalement l'encadrement
scientifique des doctorants en Mathématiques à Toulouse.
Outre l'UPS, trois autres établissements d'enseignement supérieur sont impliqués dans la Formation
Doctorale en Mathématiques, en raison de liens scientifiques bien établis :
- Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace (SUPAERO)
- Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse (INSA)
- Université Toulouse 1 Sciences Sociales (UT1).
Sont aussi associées à l'Ecole Doctorale, de jeunes équipes de recherche à l'Université Toulouse le
Mirail (UTM, Lettres et Sciences Humaines).

Cette Unité Mixte de Recherche associées au CNRS, offre un large éventail de spécialisations en
Mathématiques Fondamentales ou Appliquées, dans un laboratoire d’accueil.
Géométrie algébrique - Géométrie algébrique complexe - Arithmétique et Géométrie algébrique -
Topologie et Géométrie différentielle - K-théorie et algèbres d’opérateurs - Systèmes dynamiques
analytiques - Singularités de feuillages analytiques - Géométrie des équations différentielles - Analyse
complexe

Groupe Statistique : Interaction des statistiques - Méthodes multidimensionnelles - Statistique fonctionnelle -
Méthodes asymptotiques

Groupe Probabilités : Analyse des Processus et des Semi groupes de Markov - Mouvement brownien et
calcul stochastique - Chaînes de Markov, marches aléatoires sur les groupes - Algorithmes stochastiques
et simulation, filtrage non linéaire - Familles exponentielles, classification.

Activités de modélisation en mécanique et en physique : - Structures, fluides et interactions - Mécanique
des fluides et combustion - Modélisation mathématique et numérique des phénomènes de transport -
Electromagnétisme et propagation d’ondes


54
Vocation transverse aux applications consacrées à des outils de mathématiques ou de calcul : - Equations
aux dérivées partielles - Optimisation et interactions - Parallélisassions, optimisation de formes et
contrôle optimal – Algorithmes - Application du calcul formel.

Les Etudes Doctorales bénéficient aussi d'un environnement toulousain porteur. Des pôles industriels et
des centres de recherches finalisées — notamment dans le secteur aéronautique et spatial — ainsi que des
entreprises de tailles diverses font appel à des mathématiciens. Les laboratoires de mathématiques
universitaires sont, de plus, engagés dans des actions de collaborations suivies, non seulement au niveau
régional, mais aussi national et international.

INDICATIONS SUR LE DEROULEMENT DES ETUDES EN THESE
Cette section n'a pas pour but de donner une description précise et complète du déroulement des
études en thèse, mais d'attirer l'attention sur quelques points particuliers.

Thèse — C'est un travail PERSONNEL conduisant à des résultats ORIGINAUX.

Inscription — Le diplôme de Master 2 Recherche acquis et une fois fixé le choix du sujet, en accord
avec votre futur directeur de thèse, vous déposerez une demande d'autorisation d'inscription en thèse
auprès de l'Ecole Doctorale qui statuera. L'inscription en thèse peut être effectuée dans l'un des
établissements du sceau du M2R. Le dossier de demande d'autorisation d'inscription est à retirer au
secrétariat.

Financement — La durée de la thèse est de trois ans. Le projet de thèse doit comporter un financement
pour toute la durée de la préparation. Au cours de l'année universitaire précédente, il faut se tenir informé
des possibilités de financements offerts : allocations du ministère, bourses BDI pour les ingénieurs,
conventions CIFRE pour les thèses en entreprise, bourses dans le cadre d'accords de coopération pour les
étrangers, financements européens...

Institut de Mathématiques — Tout doctorant est rattaché à un laboratoire associé à l'Ecole Doctorale.
Le laboratoire d'accueil joue un rôle essentiel dans l'environnement scientifique de l'étudiant,
environnement indispensable à la formation par la recherche. La préparation de la thèse peut se dérouler à
l'intérieur même du laboratoire ou bien à l'extérieur, par exemple en milieu industriel (en relation suivie
avec le laboratoire).

Formation Complémentaire obligatoire — Tout au long de la préparation de la thèse, le doctorant est
tenu de suivre une formation complémentaire : cours d’approfondissement dans la discipline, cours de
Master Recherche organisés chaque année sur une thématique donnée, ou encore parmi les modules de
Master 2 Recherche de l’année en cours. Cette formation sera validée par le responsable du module au
moyen d’un certificat d’assiduité qui devra être joint au dossier de soutenance. (Dispositions spéciales
pour les doctorants hors Toulouse contacter le secrétariat de l’ED).
En plus de ces cours, le doctorant devra suivre une formation générale plus directement liée à l’insertion
professionnelle. Le Collège des Etudes Doctorales de l’UPS a mis en place une formation constituée d’un
ensemble de modules au choix (détails disponibles chaque année sur le site de l’Ecole : www.edmath.ups-tlse.fr


55
L’ED MATHEMATIQUES APPLICATION EN QUELQUES CHIFFRES



Les Doctorants — 120 doctorants sont actuellement inscrits en 2006-2007 tous établissements
confondus.



Les Financements de thèse — en principe toutes les thèses bénéficient d’un financement. Depuis 2000,
il y a eu 207 financements, dont le détail vous est proposé en % dans le tableau ci-joint.



Les Thèses soutenues — 180 thèses ont été soutenues depuis 2000



Le Devenir — Un bilan du devenir professionnel des docteurs est fourni tous les ans pour les enquêtes
ministérielles. Nous vous présentons les chiffres dans les tableaux ci-joints.


FINANCEMENT THESE de 2000 à 2006

56
%
189

brut
Allocations de Recherche
CIFRE
83 40

Financement pour étranger 40 10
Autres (Contrats, BDI…) 30 14
Salariés 25 12
Sans financement 11 5





























57
%
tDoc 148
ec 137
s74
DEVENIR DE 2000 à 2005
Brut
Pos
Retour pays
sS
21 12
En
Ens Sup 78 43
Organismes recherche 17 9
Entreprise 27
e
15
Adm+autre mins tèr
Sans emploi 5 2




















58
ADRESSES UTILES

∗ Secrétariat
Master 2 Recherche de Mathématiques Fondamentales
Master 2 Recherche de Mathématiques Appliquées
Manuella RODRIGUES, e-mail : rodrigues@adm.ups-tlse.fr
Université Paul Sabatier, UFR MIG
118 route de Narbonne 31062 TOULOUSE Cedex 9
Tél.: 05 61 55 67 87, Fax : 05 61 55 61 83,

∗ Professeur responsable du Master 2 Recherche de Mathématiques Fondamentales
N’GUYEN TIEN Zung e-mail : tienzung@math.ups-tlse.fr
Université Paul Sabatier, UFR MIG
118 route de Narbonne 31062 TOULOUSE Cedex 9
Tél.: 05 61 55 76 68, Fax : 05 61 55 61 83,
Site web : http://www.picard.ups-tlse.fr/

∗ Professeur responsable du Master 2 Recherche de Mathématique Appliquées
et Professeur responsable de la filière « Probabilités et Statistique »
J.-C. FORT e-mail : Jean-Claude.Fort@math.ups-tlse.fr
Université Paul Sabatier, UFR MIG
118, route de Narbonne 31062 TOULOUSE Cedex 9
Tél.: 05 61 55 85.73, Fax : 05 61 55 61 83,

∗ Professeur responsable de la filière « Analyse Numérique »
E. LOMBARDI e-mail : lombardi@math.ups-tlse.fr
Tél.: 05 61 55 86 29, Fax : 05 61 55 61 83,

Site web pour la filière « Analyse Numérique » : http://mip.ups-tlse.fr/
Site web pour la filière « Probabilités et Statistiques » : http://lsp.ups-tlse.fr/

∗ Directeur de l'Ecole Doctorale M.I.T.T. (Mathématiques, Informatique de
Télécommunication de Toulouse
Monsieur FERAUD e-mail : feraud@irit.fr
Université Paul Sabatier, UFR MIG
118 route de Narbonne 31062 TOULOUSE Cedex 9
Tél.: 05 61 55 49.46

* Secrétariat Ecole Doctorale M.I.T.T.
Agnès REQUIS e-mail : requis@adm.ups-tlse.fr
Tél : 05 61 55 74 81, Fax : 05 61 55 81 74


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ADRESSES UTILES (suite)

∅ à SUPAERO : ∗ Secrétariat Direction de la recherche
Madame HERBILLON, Tél : 05 62 17 80 67
Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace
BP 4030 31055 TOULOUSE Cedex
∗ Professeur correspondant du Master 2 Recherche de Mathématiques Appliquées
Manuel SAMUELIDES
SUPAERO, BP 4030 31055 TOULOUSE Cedex
e-mail : Manuel.Samuelides@supaero.fr

∅ à l'INSA : ∗ Secrétariat Centre de Mathématiques
Monique SEGERIC Tél : 052 61 559 93 11
Institut National des Sciences Appliquées
Complexe scientifique de Rangueil 31077 TOULOUSE Cedex
∗ Professeur correspondant du Master 2 Recherche de Mathématiques Appliquées
Jean-Paul VILA
INSA, Centre de Mathématiques
Complexe scientifique de Rangueil 31077 TOULOUSE Cedex
e-mail : vila@mip.ups-tlse.fr

∅ à l'UT1 :
∗ Secrétariat
Manufacture des Tabacs
21, Allée De Brienne - N° bureau : MS 210
31000 TOULOUSE
∗ Professeur correspondant du Master 2 Recherche de Mathématiques Appliquées
Christine THOMAS.
e-mail : cthomas@cict.fr